Question

已知函数f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2）的图象过点（1，0），设g（x）=f［f（x）］，F（x）=p·g（x）+q·f（x）（p、q∈R）.

（1）求a的值.

（2）求函数F（x）的函数解析式.

（3）是否存在实数p（p＞0）和q，使F（x）在区间（-∞，f（2））上是增函数且在（f（2），0）上是减函数?请证明你的结论.

Answer 1

解：（1）由题意知a-（a-3）+a-2=0，解得a=-1.

（2）∵a=-1，∴f（x-2）=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，即f（x）=-x²+1.

∴g（x）=f［f（x）］=-x⁴+2x².

∴F（x）=-px⁴+（2p-q）x²+q.

（3）∵f（2）=-3，则可假设存在实数p＞0和q，使得F（x）在区间（-∞，-3）上是增函数，在（-3，0）上是减函数.设x₁＜x₂，则F（x₁）-F（x₂）=（x₁²-x₂²）［-p（x₁²+x₂²）+2p-q］.

（ⅰ）当x₁、x₂∈（-∞，-3）时，

∵F（x）是增函数，

∴F（x₁）-F（x₂）＜0.

又x₁²-x₂²＞0，

∴-p（x₁²+x₂²）+2p-q＜0.           ①

又x₁＜-3，x₂＜-3，

∴x₁²+x₂²＞18.

∴-p（x₁²+x₂²）+2p-q＜-18p+2p-q=-16p-q.

要使①式成立，只需-16p-q≤0.

（ⅱ）当x₁、x₂∈（-3，0）时，F（x）是减函数，∴F（x₁）-F（x₂）＞0.

又x₁²-x₂²＞0，

∴-p（x₁²+x₂²）+2p-q＞0.           ②

又∵x₁、x₂∈（-3，0），

∴x₁²+x₂²＜18.

∴-p（x₁²+x₂²）+2p-q＞-18p+2p-q=-16p-q.

要使②式成立，只需-16p-q≥0.

综合（ⅰ）（ⅱ）可知-16p-q=0，即16p+q=0.

∴存在实数p和q，使得F（x）在区间（-∞，-3）上是增函数，在（-3，0）上是减函数.