Question

11．如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为6，∠C₁BC的正切值为$\frac{1}{3}$，当AB+AD+AA₁的值最小时，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的表面积（　　）

• A． 10π
• B． 12π
• C． 14π
• D． 16π

Answer 1

分析 先根据条件求出长方体的三条棱长，再求出长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的直径，即可得出结论．

解答 解：由题意设AA₁=x，AD=y，则AB=3x，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为6，
∴xy•3x=6，
∴y=$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∴AB+AD+AA₁=4x+$\frac{2}{{x}^{2}}$≥3$\root{3}{2x•2x•\frac{2}{{x}^{2}}}$=6，
当且仅当2x=$\frac{2}{{x}^{2}}$，即x=1时，取得最小值，
∴长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的直径为$\sqrt{1+4+9}$=$\sqrt{14}$，
∴长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的表面积=14π，
故选C．

点评 本题考查长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的表面积，考查体积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．