Question

高为

2

4

的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为

1

．

Answer 1

分析：由正方形的性质算出ABCD所在的平面小圆半径为r=

2

2

．四棱锥S-ABCD的高为

2

4

，得到S在平行于ABCD所在平面且距离等于

2

4

的平面α上，由此结合球的截面圆性质和勾股定理加以计算，即可算出底面ABCD的中心与顶点S之间的距离．

解答：解：由题意，设正方形ABCD的中心为G，可得
∵ABCD所在的圆是小圆，对角线长为

2

，即小圆半径为r=

2

2

∴点正方形ABCD的顶点在半径R=1的同一球面上，
∴球心到小圆圆心的距离OG=

R2-r2

=

2

2

，
∵四棱锥S-ABCD的高为

2

4

，
∴点S与ABCD所在平面的距离等于

2

4

，
设平面α∥平面ABCD，且它们的距离等于

2

4

，平面α截球得小圆的圆心为H，
则OH=

2

2

-

2

4

=

2

4

，
∴Rt△SOH中，SH²=OS²-OH²=R²-（

2

4

）²=

7

8

，
可得SG=

SH2+GH2

=

7 8 +( 2 4 )2

=1，即底面ABCD的中心G与顶点S之间的距离为1
故答案为：1

点评：本题给出四棱锥的四个顶点在同一个球面上，求它的顶点到底面中心的距离．着重考查了正方形的性质、球的截面圆性质和勾股定理等知识，属于中档题．