Question

已知函数f(x)＝x³－ax－1.
(1)若a＝3时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，单调减区间为(－1，1)（2）a≤0.（3）存在实数a使f(x)在(－1，1)上单调递减，且a≥3.

(1)当a＝3时，f(x)＝x³－3x－1，∴f′(x)＝3x²－3，
令f′(x)>0即3x²－3>0，解得x>1或x<－1，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
同理可求f(x)的单调减区间为(－1，1)．
(2)f′(x)＝3x²－a.
∵f(x)在实数集R上单调递增，
∴f′(x)≥0恒成立，即3x²－a≥0恒成立，∴a≤(3x²)_min.
∵3x²的最小值为0，∴a≤0.
(3)假设存在实数a使f(x)在(－1，1)上单调递减，
∴f′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即a≥3x².
又3x²∈[0，3)，∴a≥3.
∴存在实数a使f(x)在(－1，1)上单调递减，且a≥3.