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设函数f(x)=(x+a)n,其中n=6
π
2
0
cosxdx
f′(0)
f(0)
=-3
,则f(x)的展开式中x4的系数为(  )
A、-360B、360
C、-60D、60
分析:由题意利用其中n=6
π
2
0
cosxdx
先求出n.再利用f(x)=(x+a)n
f′(0)
f(0)
=-3
,求出a,然后利用二项式的通项求出展开式中的含x4的系数.
解答:解:有n=6
π
2
0
cosxdx
=6sinx
|
π
2
0
=6,
∴f(x)=(x+a)n=(x+a)6
f′(0)
f(0)
=-3
,而f(x)=6(x+a)5
f(0)
f(0)
=
6a5
a6
=-3
?a=-2,∴f(x)=(x-2)6∴利用二项式定理的通项可得:f(x)的展开式中x4的系数为C62(-2)2=60.
故选:D
点评:此题考查了定积分的求值,对函数求导及求函数值,还考查了方程的思想及二项式定理的展开后求指定项的系数.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②当x∈[-1,0]时f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列;
④关于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7个不同的根.
其中真命题的个数为(  )

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科目:高中数学 来源:徐州模拟 题型:解答题

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:2011年江苏省苏、锡、常、镇四市高三调研数学试卷(一)(解析版) 题型:解答题

设函数f(x)=x(x-1)2,x>0.
(1)求f(x)的极值;
(2)设0<a≤1,记f(x)在(0,a]上的最大值为F(a),求函数的最小值;
(3)设函数g(x)=lnx-2x2+4x+t(t为常数),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的实数m有且只有一个,求实数m和t的值.

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设函数f(x)=x(x-1)2,x>0.
(1)求f(x)的极值;
(2)设0<a≤1,记f(x)在(0,a]上的最大值为F(a),求函数的最小值;
(3)设函数g(x)=lnx-2x2+4x+t(t为常数),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的实数m有且只有一个,求实数m和t的值.

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