Question

（2012•宝鸡模拟）设偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x，则关于x的方程f(x)=(

1

8

)x在区间[0，3]上解的个数有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．

解答：解：∵f（x-1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），
∴原函数的周期T=2，
又∵f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x），
又∵x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2，
∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）
设y1=f(x) ，y2=(

1

8

)x
方程f(x)=(

1

8

)x=x根的个数，即为函数y1=f(x) ，y2=(

1

8

)x的图象交点的个数．
由以上条件，可画出y1=f(x) ，y2=(

1

8

)x的图象：
又因为当x=1时，y₁＞y₂，
∴在（0，1）内有一个交点．
∴结合图象可知，在[0，3]上y1=f(x) ，y2=(

1

8

)x共有3个交点
∴在[0，3]上，原方程有3个根．
故选C．

点评：本题考查函数的性质，函数与方程思想，数形结合思想．转化思想，属中档题．