Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点，若四边形BCON是平行四边形；
（Ⅰ）求AM的长；
（Ⅱ）求sin∠ANC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BM，则平行四边形BCON中证出BC∥MN，由⊙O的切线AM⊥MN得到BC⊥AM，结合C是AM的中点得到△ABM中BM=BA．由MN是⊙O的直径，得∠MBN=90°，因此得到△NAM是等腰直角三角形，故AM=MN=2．
（II）作CE⊥AN于E点，等腰Rt△CEA中算出CE=

2

2

，Rt△MNC中算出CN=

5

，从而可得Rt△ENC中，sin∠ANC=

10

10

．

解答：解：（Ⅰ）连接BM，则
∵MN是⊙O的直径，∴∠MBN=90°，
∵四边形BCON是平行四边形，∴BC∥MN，
又∵AM是⊙O的切线，可得MN⊥AM，∴BC⊥AM，
∵C是AM的中点，∴BC是△ABM的中线，
由此可得△ABM是等腰三角形，即BM=BA，
∵∠MBN=90°，∴∠BMA=∠A=45°，
因此得到Rt△NAM是等腰直角三角形，故AM=MN=2．…（5分）
（Ⅱ）作CE⊥AN于E点，则
由（I），得△CEA是等腰直角三角形，且AC=1
∴CE=

2

2

AC=

2

2

，
∵Rt△MNC中，MN=2，MC=1，∴CN=

22+12

=

5

，
故Rt△ENC中，sin∠ANC=

CE

NC

=

10

10

．…（10分）

点评：本题给出圆O的垂直于直径MN的一条切线AM，在已知△NAM是等腰直角三角形的情况下求线段的长，并求sin∠ANC的值．着重考查了圆的切线的性质、直径所对的圆周角和直角三角形中三角函数的定义等知识，属于中档题．