Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=

1

2

n(n-1)，且a_n是b_n与1的等差中项．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）若cn=

1

nan

(n≥2)，求c₂+c₃+c₄+…+c_n；
（3）若f(n)=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，是否存在n∈N*使得f（n+11）=2f（n），并说明理由．

Answer 1

分析：（1）当n大于等于2时，由a_n=S_n-S_n-1得出通项公式，然后把n=1代入通项公式进行验证，即可得到数列{a_n}的通项公式，再由a_n是b_n与1的等差中项，根据等差数列的性质得到2a_n=b_n+1，由数列{a_n}的通项公式即可求出数列{b_n}的通项公式；
（2）把（1）得出的数列{a_n}的通项公式，代入cn=

1

nan

(n≥2)，利用拆项的方法变形，然后列举出c₂+c₃+c₄+…+c_n的各项，抵消合并可求出值；
（3）不存在，理由为：分n为奇数和偶数两种情况考虑：当n为奇数时，n+11为偶数，分别代入相应的解析式中求出f（n）和f（n+11），发现方程f（n+11）=2f（n）无解；当n为偶数时，n+11为奇数，分别代入相应的解析式中求出f（n）和f（n+11），发现方程f（n+11）=2f（n）也无解，故不存在n使f（n+11）=2f（n）．

解答：解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n（n-1）-

1

2

（n-1）（n-2）=n-1，
把n=1代入验证，满足通项公式，
则a_n=n-1，又a_n是b_n与1的等差中项，
则b_n=2a_n-1=2（n-1）-1=2n-3；
（2）因为a_n=n-1，
所以cn=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)，
则c₂+c₃+c₄+…+c_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

；
（3）不存在，理由为：
当n是奇数时，n+11为偶数，
此时f（n）=a_n=n-1，f（n+11）=b_n+11=2n+19，
由f（n+11）=2f（n）知无解；
当n是偶数时，n+11为奇数，
此时f（n）=b_n=2n-3，f（n+11）=a_n+11=n+10，
由f（n+11）=2f（n）知无解，
所以满足题意的n不存在．

点评：此题考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，数列的求和，以及分类讨论思想的运用，熟练掌握等差数列的通项公式及性质是解本题的关键，其中注意第二小问拆项的方法

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

．