Question

小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为

4

5

，

3

4

，

2

3

，且每个问题回答正确与否相互独立．
（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；
（2）用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．

Answer 1

分析：（1）利用小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为

4

5

，

3

4

，

2

3

，且每个问题回答正确与否相互独立，即可求小王过第一关但未过第二关的概率；
（2）确定X的取值，求出相应的概率，即可得到X的概率分布列与X的数学期望．

解答：解：（1）小王过第一关但未过第二关的概率P₁，则P₁=(

4

5

)2(

1

4

+

3

4

×

1

4

)=

7

25

；
（2）x的取值为0，1000，3000，6000，则
P（X=0）=

1

5

+

4

5

×

1

5

=

9

25

；P（X=1000）=(

4

5

)2(

1

4

+

3

4

×

1

4

)=

7

25

；
P（X=3000）=(

4

5

)2(

3

4

)2[1-(

2

3

)2-

C

1 2

•(

2

3

)2×

1

3

]=

7

75

；
P（X=6000）=(

4

5

)2(

3

4

)2[(

2

3

)2+

C

1 2

•(

2

3

)2×

1

3

]=

4

15

∴X的概率分布列为

X	0	1000	3000	6000
P	9 25	7 25	7 75	4 15

∴EX=0×

9

25

+1000×

7

25

+3000×

7

75

+6000×

4

15

=2160．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．