Question

现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为

1

6

、

1

2

、

1

3

；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是P（0＜P＜1），设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ζ，对乙项目每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量ξ₁、ξ₂分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．
（I）求ξ₁、ξ₂的概率分布和数学期望Eξ₁、Eξ₂；
（II）当Eξ₁＜Eξ₂时，求P的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意写出变量ξ₁概率分布，表示出期望，根据条件可以看出变量ξ₂符合二项分布，根据二项分布的概率写出分布列，算出期望．
（2）根据上一问做出的期望，由Eξ₁＜Eξ₂写出概率P满足的不等关系，整理后变化为一元二次不等式的解集，采用十字相乘法得到一元二次不等式的解集，注意概率本身的限制条件．

解答：解：（I）由题意知ξ₁概率分布为

Eξ₁=1.2×

1

6

+1.18×

1

2

+1.17×

1

3

=1.18．
由题设得ξ₂～B（2，P），则ξ₂的概率分布为

∴ξ₂的数学期望为
Eξ₂=1.3×（1-P）²+1.25×2P（1-P）+0.2×P²=-P²-0.1P+1.3
（II）由Eξ₁＜Eξ₂，得：
-P²-0.1P+1.3＞1.18
∴（P+0.4）（P-0.3）＜0，
∴-0.4＜P＜0.3
∵0＜p＜1，
∴Eξ₁＜Eξ₂时，p的取值范围是0＜p＜0.3．

点评：本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识，考查同学们运用概率知识解决实际问题的能力．是一个大型的综合题，可以处在高考题目中．