Question

选修4--4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：

x=2cosβ y=2sinβ

(β为参数)上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

Answer 1

分析：（I）根据题意写出P，Q两点的坐标：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标，从而得出M的轨迹的参数方程；
（II）利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d=

x2+y2

=

2+2cosα

，再验证当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．

解答：解：（I）根据题意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
∵M为PQ的中点，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），
∴求M的轨迹的参数方程为：

x=cosα+cos2α y=sinα+sin2α

（α为参数，0＜α＜2π）．
（II）M到坐标原点的距离d=

x2+y2

=

2+2cosα

（0＜α＜2π）．
当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，两点间的距离公式的应用，轨迹方程，属于基础题．