在极坐标系中.曲线C1:ρ=2cosθ.曲线 ${C 2}:ρ{sin^2}θ=4cosθ$．以极点为坐标原点.极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy.曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$．(Ⅰ)求C1.C2的直角坐标方程,(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．在极坐标系中，曲线C₁：ρ=2cosθ，曲线 ${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）求C₁，C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）C与C₁，C₂交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为P，Q，R，S，求||PQ|-|RS||的值．

分析（I）曲线C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线 ${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$即ρ²sin²θ=4ρcosθ，利用互化公式可得直角标准方程．
（II）设四点在C上的排列顺次为P，Q，R，S，其参数分别为t₁，t₂，t₃，t₄．曲线C的参数方程代入抛物线方程可得：3t²-8t-32=0．△₁＞0，可得t₁+t₄．曲线C的参数方程代入圆的方程可得：t²+t=0．△₂＞0，可得t₂+t₃．∴||PQ|-|RS||=|（t₂-t₁）-（t₄-t₃）|=|（t₂+t₃）-（t₁+t₄）|即可得出．

解答解：（I）曲线C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=2x．
曲线 ${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$即ρ²sin²θ=4ρcosθ，化为直角标准方程：y²=4x．
（II）设四点在C上的排列顺次为P，Q，R，S，其参数分别为t₁，t₂，t₃，t₄．
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入抛物线方程可得：3t²-8t-32=0．△₁＞0，可得t₁+t₄=$\frac{8}{3}$．
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入圆的方程可得：t²+t=0．△₂＞0，可得t₂+t₃=-1．
∴||PQ|-|RS||=|（t₂-t₁）-（t₄-t₃）|=|（t₂+t₃）-（t₁+t₄）|=$|1+\frac{8}{3}|$=$\frac{11}{3}$．

点评本题考查了直线的参数方程及其应用、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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D．

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