Question

9．方程（lga+lgx）•（lga+2lgx）=4有两个小于1的正根α，β．
（1）若lgα+lgβ=-$\frac{9}{2}$，求a的值；
（2）若|lgα-lgβ|≤2$\sqrt{3}$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将已知方程转化为一般式方程，然后由根与系数的关系来求a的值；
（2）利用根与系数的关系和对数的运算性质将|lgα-lgβ|≤2$\sqrt{3}$转化为关于a的不等式，通过解不等式求得a的取值范围．

解答 解：由方程（lga+lgx）•（lga+2lgx）=4有两个小于1的正根α，β，得
2lg²x+3lgalgx+lg²a-4=0．
（1）∵α，β是方程（lga+lgx）•（lga+2lgx）=4，即2lg²x+3lgalgx+lg²a-4=0的两个正根，
∴lgα+lgβ=-$\frac{3}{2}$lga=-$\frac{9}{2}$，
∴lga=3，
则a=1000；
（2）∵lgα+lgβ=-$\frac{3}{2}$lga，lgα•lgβ=$\frac{l{g}^{2}a-4}{2}$，
∴|lgα-lgβ|²=（lgα+lgβ）²-4lgα•lgβ≤12，
∴$\frac{9}{4}$lg²a-2lg²a+8≤12，
解得-4≤lga≤4，
又∵方程（lga+lgx）•（lga+2lgx）=4有两个小于1的正根α，β，
∴lga＞0且lgα•lgβ=$\frac{l{g}^{2}a-4}{2}$＞0，
解得lga＞2，
∴2＜lga≤4
∴实数a的取值范围是（100，10000]．

点评 本题考查了对数的运算性质和根的存在性及根的个数判断．还考查运算能力，属于中档题．