Question

6．已知函数f（x）=（a+1）x+（4a-5）在区间[0，2]内的函数值有正有负，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

Answer 1

分析 函数f（x）在区间[0，2]内的函数值有正有负，可知f（x）在（0，2）上必有零点，求出f（x）的零点x₀，令0＜x₀＜2即可．

解答 解：当a+1=0即a=-1时，f（x）=-9，不符合题意；
当a+1≠0即a≠-1时，令f（x）=0
得（a+1）x+（4a-5）=0，
解得x=$\frac{5-4a}{a+1}$，
∵函数f（x）在区间[0，2]内的函数值有正有负，
∴0＜$\frac{5-4a}{a+1}$＜2，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{5}{4}$．
综上所述，a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
故答案为（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了函数零点的定义，确定f（x）在（0，2）上有零点是本题的关键，属于中档题．