Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6

3

，E是PB上任意一点．
（1）求证：AC⊥DE；
（2）当△AEC面积的最小值是9时，在线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为2？若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接BD，设AC与BD相交于点F．根据菱形的对角线互相垂直及线面垂直的性质，可得AC⊥BD，PD⊥AC，进而由线面垂直的判定定理得到AC⊥平面PDB，最后由线面垂直的性质，得到AC⊥DE；
（2）连接ED，由（1）中AC⊥平面PDB，可得AC⊥EF，根据△AEC面积的最小值是9，可求出EF的最小值，作GH∥CE交PB于点G，则GH⊥平面PAB，∠GEH就是EG与平面PAB所成的角，结合EG与平面PAB所成角的正切值为2，可求出BG的值．

解答：证明：（1）连接BD，设AC与BD相交于点F．
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
又因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又由PD∩BD=D，PD，BD?平面PBD，
∴AC⊥平面PDB
∵E为PB上任意一点，DE?平面PBD，
所以AC⊥DE--------------（4分）
（2）连接ED，由（1）知AC⊥平面PDB
∵EF?平面PDB
∴AC⊥EF
∴S_△ACE=

1

2

•AC•EF
当△AEC面积的最小值是9时，EF取最小值3
由PB⊥EF，PB⊥AC，EF∩AC=F，EF，AC?平面AEC得
PB⊥平面AEC
又∵EC?平面AEC
∴PB⊥EC
又由EF=AF=FC=3得EC⊥AE，
又∵PB∩AE=E，PB，AE?平面PAB
∴EC⊥平面PAB
作GH∥CE交PB于点G，则GH⊥平面PAB
∴∠GEH就是EG与平面PAB所成的角
在直角三角形CEB中，BC=6，EC=3

2

，EB=3

2

，
∴∠CBE=45°，
设BG=x，则BH=HG=

2

2

x
由tan∠GEH=2得EH=

2

4

x．
由EH+HB=EB得x=4，即BG=4--------------（10分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，空间线面垂直的判定与性质，熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的相互转化是解答的关键．