Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°

（1）证明：AB⊥A1C；
（2）若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．

因为CA=CB，所以OC⊥AB．

由于AB=AA1， ，故△AA1B为等边三角形，

所以OA1⊥AB．

因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．

又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C；

（2）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以 ．

又 ，则 ，故OA1⊥OC．

因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．

又△ABC的面积 ，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积 ．

【解析】（1）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1 ， 可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；（2）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．