Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点点N在线段AD上.

（1）点N为线段AD的中点时，求证：直线PA∥面BMN；

（2）若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求二面角C﹣BM﹣N所成角θ的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

(1)连结点，，交于点，连结，推导出四边形为正方形，由此能证明直线平面；（2）分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角C-BM-N所成角的余弦值.

证明：（1）连结点AC，BN，交于点E，连结ME，

∵点N为线段AD的中点，AD＝4，

∴AN＝2，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝2，

∴四边形ABCN为正方形，∴E为AC的中点，

∴ME∥PA，

∵PA平面BMN，∴直线PA∥平面BMN.

（2）∵PA⊥平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，

∵∠BAD＝90°，∴PA，AB，AD两两互相垂直，

分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则由AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，得：

B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4），

∵M为PC的中点，∴M（1，1，2），

设AN＝λ，则N（0，λ，0），（0≤λ≤4），则＝（﹣1，λ﹣1，﹣2），

＝（0，2，0），＝（2，0，﹣4），

设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），

∵直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，＝＝.

解得λ＝1，则N（0，1，0），＝（﹣2，1，0），＝（﹣1，1，2），

设平面BMN的法向量＝（x，y，z），

＝﹣x+y+2z＝0，＝﹣2x+y＝0，

令x＝2，得＝（2，4，﹣1），

cos＝

∴二面角C-BM-N所成角的余弦值为.