Question

6．在△ABC中，已知AB=8，BC=7，cos（C-A）=$\frac{13}{14}$，则△ABC的面积为10$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作CD=AD，则∠BCD=C-B，设设AD=CD=x，则BD=8-x，在△BCD中，由余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出CD与BD的长，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出cosB的值，然后求出sinB，利用三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：∵AB＞BC，∴C＞A，
作CD=AD，则∠DCA=∠A，则∠BCD=C-A，
即cos∠BCD=cos（C-A）=$\frac{13}{14}$，
设AD=CD=x，则BD=8-x，
在△BDC中，由余弦定理得：BD²=CD²+BC²-2CD•BC•cos∠BCD，
即（8-x）²=x²+49-2×7x•$\frac{13}{14}$=x²+49-13x，
即64-16x+x²=x²+49-13x，
即3x=15
解得：x=5，
∴AD=5，BD=3，CD=5
在△BCD中，由余弦定理得cosB=$\frac{B{D}^{2}+B{C}^{2}-C{D}^{2}}{2BD•BC}$=$\frac{9+49-25}{2×3×7}$=$\frac{11}{14}$．
则sinB=$\sqrt{1-（\frac{11}{14}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}$×7×8×$\frac{5\sqrt{3}}{14}$=10$\sqrt{3}$，
故答案为：10$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据条件作出辅助线，利用余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．