Question

11．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点，则AE与平面B₁BCC₁所成的角为$arctan\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．（$arcsin\frac{2}{3}$，$arccos\frac{{\sqrt{5}}}{3}$）（结果用反三角表示）

Answer 1

分析 由AB⊥平面B₁BCC₁，知∠AEB是AE与平面B₁BCC₁所成的角，由此能求出AE与平面B₁BCC₁所成的角的大小．

解答 解：连结BE，∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点，
∴BE=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴AB⊥平面B₁BCC₁，∴∠AEB是AE与平面B₁BCC₁所成的角，
∵tan∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴∠AEB=$arctan\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
故答案为：$arctan\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．