Question

16．已知集合A_n={（x₁，x₂，…，x_n）|x_i∈{-1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A_n，x=（x₁，x₂，…，x_n），y=（y₁，y₂，…，y_n），其中x_i，y_i∈{-1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n．若x⊙y=0，则称x与y正交．
（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A₄中与x正交的所有元素；
（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A_n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；
（Ⅲ）若A⊆A_n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由子集定义直接写出答案；
（Ⅱ）根据题意分别表示出m，n即可；
（Ⅲ）根据两个元素均正交的定义，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素即可．

解答 解：（Ⅰ）A₄中所有与x正交的元素为（-1，-1，1，1）（1，1，-1，-1），（-1，1，-1，1），（-1，1，1，-1），（1，-1，-1，1），（1，-1，1，-1）． …（3分）
（Ⅱ）对于m∈B，存在x=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈{-1，1}，y=（y₁，y₂，…，y_n），其中x_i，y_i∈{-1，1}；
使得x⊙y=m．
令${λ}_{1}=\left\{\begin{array}{l}{1\\;\\;\\;\\;\\;（{x}_{i}={y}_{i}）}\\{0\\;\\;\\;\\;\\;（{x}_{i}≠{y}_{i}）}\end{array}\right.$，$k=\sum_{i=1}^{n}{λ}_{i}$；当x_i=y_i时，x_iy_i=1，当x_i≠y_i时，x_iy_i=-1．
那么x⊙y=$\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}=k-（n-k）=2k-n$．
所以m+n=2k-n+n=2k为偶数．…（8分）
（Ⅲ）8个，2个
n=8时，不妨设x_{1=（1，1，1，1，1，1，1，1）}，x₂=（-1，-1，-1，-1，1，1，1，1）．
在考虑n=4时，共有四种互相正交的情况即：（1，1，1，1）$；\left\{\begin{array}{l}{\\;\\;1\\;\\;\\;\\;\\;1\\;\\;\\;\\;1\\;\\;\\;1}\\{-1\\;\\;\\;\\;\\;1\\;\\;-1\\;\\;\\;1}\\{-1\\;\\;\\;-1\\;\\;\\;\\;1\\;\\;\\;1}\\{\\;\\;1\\;\\;\\;-1\\;\\;-1\\;\\;\\;1}\end{array}\right.$，（-1，1，-1，1），（-1，-1，1，1），（1，-1，-1，1）分别与x₁，x₂搭配，可形成8种情况．
所以n=8时，A中最多可以有8个元素．…（10分）
N=14时，
不妨设y₁=（1，1…1，1），（14个1），y₂=（-1，-1…-1，1，1…1）（7个1，7个-1），则y₁与y₂正交．
令a=（a₁，a₂，…a₁₄），b=（b₁，b₂，…b₁₄），c=（c₁，c₂，…c₁₄）且它们互相正交．
设 a、b、c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外
a、b相应位置数字都相同的共有m个，
c、b相应位置数字都相同的共有n个．
则a⊙b=m+k-（14-m-k）=2m+2k-14．
所以m+k=7，同理n+k=7．
可得m=n．
由于a⊙c=-m-m+k+（14-k-2m）=0，可得2m=7，m=$\frac{7}{2}∉N$矛盾．
所以任意三个元素都不正交．
综上，n=14时，A中最多可以有2个元素．…（13分）

点评 本题考查了新定义问题，主要考查学生的分析问题，解决问题的能力，属于难题．