Question

已知函数f（x）=cos2x-2sinx+1．
（1）若当x∈R时，求f（x）的最小值及相应的值．
（2）设函数g（x）=msinx+2m，且当x∈[

π

6

，

2π

3

]时，f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用余弦函数的倍角公式，结合一元二次函数的性质即可求f（x）的最小值及相应的值．
（2）f（x）＞g（x）恒成立等价为f（x）_min＞g（x）_max恒成立即可．

解答： 解：（1）f（x）=cos2x-2sinx+1=1-2sin²x-2sinx+1=-2sin²x-2sinx+2=-2（sinx+

1

2

）²+

5

2

；
∵-1≤sinx≤1，∴当sinx=1时，函数f（x）确定最小值为-2-2+2=-2，此时x=2kπ+

π

2

．
（2）若x∈[

π

6

，

2π

3

]，则sinx∈[

1

2

，1]，故当x∈[

π

6

，

2π

3

]时，f（x）确定最小值为-2，
要使当x∈[

π

6

，

2π

3

]时，f（x）＞g（x）恒成立，
则满足g（x）_max＜-2，
∵g（x）=msinx+2m=m（sinx+2），
∴若m≥0，则不等式g（x）_max＜-2，不成立，
若m＜0，
∵sinx∈[

1

2

，1]，
∴sinx+2∈[

5

2

，3]，
则当sinx+2=

5

2

时，g（x）_max=

5

2

m，
由

5

2

m＜-2，得m＜-

4

5

，
故实数m的取值范围是（-∞，-

4

5

）．

点评：本题主要考查三角函数的最值以及应用，利用倍角公式以及三角函数的图象和性质是解决本题的关键．