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    精英家教网如图，实线部分DE，DF，EF是某风景区设计的游客观光路线平面图，其中曲线部分EF是以AB为直径的半圆上的一段弧，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2千米，∠EOA=∠FOB=2x(0＜x＜
    π4
    )    ．若游客在每条路线上游览的“留恋度”均与相应的线段或弧的长度成正比，且“留恋度”与路线DE，DF的长度的比例系数为2，与路线EF的长度的比例系数为1，假定该风景区整体的“留恋度”y是游客游览所有路线“留恋度”的和．
    （I）试将y表示为x的函数；
    （II）试确定当x取何值时，该风景区整体的“留恋度”最佳？
    分析：（Ⅰ）由弧长公式求出弧AE与BF的长度，由圆的周长公式求出半圆的长度，则弧EF的长度可求，连结OD后，在三角形ODE和三角形ODF中，利用余弦定理可求DE和DF的长度，然后根据游客在每条路线上游览的“留恋度”均与相应的线段或弧的长度成正比，且“留恋度”与路线DE，DF的长度的比例系数为2，与路线EF的长度的比例系数为1，该风景区整体的“留恋度”y是游客游览所有路线“留恋度”的和将y表示为x的函数；
    （Ⅱ）求出（Ⅰ）中函数的导函数，解出导函数的零点，由零点把定义域分段，根据导函数的符合判断原函数在各段内的单调性，从而得到极值点，确定出当x取何值时，该风景区整体的“留恋度”最佳．
    解答：解：（Ⅰ）因为OA=
    1
    2
    AB    =1，∠EOA=∠FOB=2x，所以弧AE等于弧BF的长等于2x，
    又半圆周长为π，所以弧EF的长为π-4x，连结OD，则由OD=OE=OF=1，∠FOD=∠EOD=
    π
    2
    +2x    ，
    所以DE=DF=
    		1+1-2cos(2x+
    π
    2
    )
    =
    		2+2sin2x
    =
    		2
    (sinx+cosx)    ．
    又因为在每条路线上游览的“留恋度”均与相应的线段或弧的长度成正比，且“留恋度”与路线DE，DF的长度的比例系数为2，与路线EF的长度的比例系数为1，
    所以，y=4
    		2
    (sinx+cosx)+π-4x     （0＜x＜
    π
    4
    ）；
    （Ⅱ）由y=4
    		2
    (sinx+cosx)+π-4x     （0＜x＜
    π
    4
    ），
    得：y′=4
    		2
    (cosx-sinx)-4    ，
    由y′=0，得：4
    		2
    (cosx-sinx)-4=0    ，
    所以cos(x+
    π
    4
    )=
    1
    2
    ，解得x=
    π
    12
    ．
    又当x∈(0，
    π
    12
    )    时，y′＞0，所以此时y在(0，
    π
    12
    )    上单调递增，
    当x∈(
    π
    12
    ，
    π
    4
    )    时，y′＜0，所以此时y在(
    π
    12
    ，
    π
    4
    )    上单调递减，
    故当x=
    π
    12
    时，函数y有最大值，
    答：当x=
    π
    12
    时，该风景区整体的“留恋度”最佳．
    点评：本题是一个数学建模问题，解答的关键是读懂题意，正确列出函数表达式，然后利用导数求函数在开区间内的极值，进一步得到函数在闭区间内的最值．此题属中档题．
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    π4
    ）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．
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    π4
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