Question

17．定义：函数y=[x]为“下取整函数”，其中[x]表示不大于x的最大整数；函数y=＜x＞为“上取整函数”，其中＜x＞表示不小于x的最小整数；例如根据定义可得：[1.3]=1，[-1.3]=-2，＜-2.3＞=-2，＜2.3＞=3
（1）函数f（x）=＜x•[x]＞，x∈[-2，2]；求$f（{-\frac{3}{2}}）$和$f（{\frac{3}{2}}）$；
（2）判断（1）中函数f（x）的奇偶性；
（3）试用分段函数的形式表示函数：y=[x]+＜x＞，（-1≤x≤1）．

Answer 1

分析 （1）根据定义分别进行计算即可，
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可，
（3）利用定义结合分段函数的定义进行分段求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）=＜x•[x]＞，x∈[-2，2]；
∵[-$\frac{3}{2}$]=-2，∵-$\frac{3}{2}$•[-$\frac{3}{2}$]=-$\frac{3}{2}$×（-2）=3，
则＜-$\frac{3}{2}$•[-$\frac{3}{2}$]＞=＜3＞=3，
则$f（{-\frac{3}{2}}）$=＜-$\frac{3}{2}$•[-$\frac{3}{2}$]＞=3，
∵[$\frac{3}{2}$]=1，∵$\frac{3}{2}$•[$\frac{3}{2}$]=$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{2}$
则＜$\frac{3}{2}$•[$\frac{3}{2}$]＞=＜$\frac{3}{2}$＞=2，
则$f（{\frac{3}{2}}）$=＜$\frac{3}{2}$•[$\frac{3}{2}$]＞=＜$\frac{3}{2}$＞=2；
（2）∵$f（{-\frac{3}{2}}）$≠$f（{\frac{3}{2}}）$且$f（{-\frac{3}{2}}）$≠-$f（{\frac{3}{2}}）$，则（1）中函数f（x）为非奇非偶函数；
（3）当x=-1时，[-1]=-1，＜-1＞=-1，此时y=[x]+＜x＞=-1-1=-2，
当-1＜x＜0时，[x]=-1，＜x＞=0，此时y=[x]+＜x＞=-1+0=-1，
当x=0时，[0]=0，＜0＞=0，此时y=[x]+＜x＞=0，
当0＜x＜1时，[x]=0，＜x＞=1，此时y=[x]+＜x＞=0+1=1，
当x=1时，[1]=1，＜1＞=1，此时y=[x]+＜x＞=1+1=2，
则y=[x]+＜x＞=$\left\{\begin{array}{l}{-2，}&{x=-1}\\{-1，}&{-1＜x＜0}\\{0，}&{x=0}\\{1，}&{0＜x＜1}\\{2，}&{x=1}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据新定义分别进行计算是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．