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(本小题满分14分)

已知数列满足,其中.

(Ⅰ)若,求数列的通项公式;

(Ⅱ)若,且.

(ⅰ)记,求证:数列为等差数列;

(ⅱ)若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项应满足的条件.

(本小题满分14分)

解:(Ⅰ)当时,有

 …………2分

.                              ………………3分

又因为也满足上式,所以数列的通项为.………………4分

(Ⅱ)(ⅰ)因为对任意的,    ………………5分

所以

所以数列为等差数列.                                    ………………7分

(ⅱ)设,(其中为常数且),所以

所以数列均为以7为公差的等差数列.                    ………………9分

(其中中的一个常数),

时,对任意的;                 ………………10分

时,

………………11分

①若,则对任意的,所以数列为单调减数列;

②若,则对任意的,所以数列为单调增数列;

………………12分

综上:设集合

时,数列中必有某数重复出现无数次.

时, 均为单调数列,任意一个数在这6个数列中最多出现一次,所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分

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3
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π
4
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π
4
+x)

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π
2
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