Question

已知定点A(-1，0)，F(2，0)，定直线l：x=。不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍，设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N，
(Ⅰ)求E的方程；
(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)设P(x，y)，则，
化简得。
(Ⅱ)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k(x-2)(k≠0)，
与双曲线方程联立消去y得(3-k²)x²+4k²x-(4k²+3)=0，
由题意知，3-k²≠0且△＞0，
设B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，则，

，
因为x₁，x₂≠-1，所以直线AB的方程为，
因此M点的坐标为，
同理可得，
因此
；
②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2，则B(2，3)，C(2，-3)，
AB的方程为y=x+l，因此M点的坐标为，，
同理可得，
因此，
综上，，即FM⊥FN，
故以线段MN为直径的圆过点F。