Question

已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为

x= 2 2 t y= 2 t+1

，（为参数），求直线与曲线C 相交所得的弦长．

Answer 1

分析：先将曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为普通方程，然后利用弦心距、弦长的一半及圆的半径组成一个直角三角形，利用勾股定理即可求得．

解答：解：∵ρ=4sinθ，∴ρ²=4ρsinθ，∴x²+y²=4y，即x²+（y-2）²=4，
∴圆心为（0，2），半径r=2．
∵直线的参数方程为

x= 2 2 t y= 2 t+1

，（为参数），消去参数t，化为普通方程y=2x+1．
由点到直线的距离公式求得圆心（0，2）到直线y=2x+1的距离为

|0-2+1|

22+12

=

5

5

．
∴直线与曲线C 相交所得的弦长=2

22-( 5 5 )2

=

2 95

5

．

点评：本题考查了把极坐标方程、参数方程化为普通方程，并求直线与圆相交所得弦长，充分利用弦心距、弦长的一半及圆的半径组成一个直角三角形是解题的关键．另外也可将直线方程与圆的方程联立消去一个未知数得到关于另一个未知数的方程，然后根据根与系数的关系利用弦长公式即可求得．