Question

11．已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+4a₃+…+2^n-1a_n=9-6n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=n（3-{log_2}\frac{{|{a_n}|}}{3}）$，探求使$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+…+\frac{1}{b_n}＞\frac{m-1}{6}$恒成立的m的最大整数值．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=9-6=3，当n≥2时，由a₁+2a₂+4a₃+…+2^n-1a_n=9-6n可得2^n-1a_n=-6，从而求数列{a_n}的通项公式；
（2）由${b_n}=n（3-{log_2}\frac{{|{a_n}|}}{3}）$可得$\frac{1}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{3}$；n≥2时，$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；从而再化恒成立问题为最值问题即可．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=9-6=3，
当n≥2时，a₁+2a₂+4a₃+…+2^n-1a_n=9-6n，①
a₁+2a₂+4a₃+…+2^n-2a_n-1=9-6（n-1），②
①-②得，
2^n-1a_n=-6，
∴a_n=-$\frac{3}{{2}^{n-2}}$；
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{-\frac{3}{{2}^{n-2}}，n≥2}\end{array}\right.$，
（2）．∵${b_n}=n（3-{log_2}\frac{{|{a_n}|}}{3}）$，
∴b₁=1•（3-log₂$\frac{3}{3}$）=3，$\frac{1}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{3}$；
n≥2时，${b_n}=n（3-{log_2}\frac{{|{a_n}|}}{3}）$
=n（3-log₂$\frac{|-\frac{3}{{2}^{n-2}}|}{3}$）=n（3-（2-n））
=n（n+1）；$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
∴$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+…+\frac{1}{b_n}＞\frac{m-1}{6}$可化为：
$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）＞$\frac{m-1}{6}$；
即$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{m-1}{6}$恒成立，
即$\frac{5}{6}$-$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{m-1}{6}$恒成立，
故$\frac{1}{3}$＞$\frac{m-1}{6}$成立，
故m的最大整数值为2．

点评 本题考查了数列的通项公式及求和方法的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．