Question

5．重庆一中开展支教活动，有五名教师被随机的分到49中学、璧山中学、礼嘉中学，且每个中学至少一名教师，
（1）求共有多少种分派方法；（用数字作答）
（2）求璧山中学分到两名教师的概率；
（3）设随机变量X为这五名教师分到璧山中学的人数，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）利用分类讨论思想和排列组合知识能求出共有多少种分派方法．
（2）设璧山中学分到两名教师为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出璧山中学分到两名教师的概率．
（3）由题意知X的可有取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）∵有五名教师被随机的分到49中学、璧山中学、礼嘉中学，且每个中学至少一名教师，
∴共有N=$\frac{1}{2}{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{3}^{3}+{C}_{5}^{3}{A}_{3}^{3}$=150种分派方法．
（2）设璧山中学分到两名教师为事件A，
则P（A）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{2}}{\frac{1}{2}{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{3}^{3}+{C}_{3}^{3}{A}_{3}^{3}}$=$\frac{2}{5}$．
（3）由题意知X的可有取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}（{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}+{C}_{4}^{3}{A}_{2}^{2}）}{\frac{1}{2}{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{3}^{3}+{C}_{5}^{3}{A}_{3}^{3}}$=$\frac{7}{15}$，
P（X=2）=$\frac{2}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{2}{A}_{2}^{2}}{\frac{1}{2}{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{3}^{3}+{C}_{5}^{3}{A}_{3}^{3}}$=$\frac{2}{15}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{7}{15}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{15}$

∴E（X）=$1×\frac{7}{15}+2×\frac{2}{5}+3×\frac{2}{15}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．