Question

（2010•重庆一模）已知F是抛物线y²=4x的焦点，Q是抛物线的准线与x轴的交点，直线l经过点Q．
（I）若直线l与抛物线恰有一个交点，求l的方程；
（II）如题20图，直线l与抛物线交于A、B两点，记直线FA、FB的斜率分别为k₁、k₂，求k₁+k₂的值．

Answer 1

分析：（I）依题意得：Q（-1，0），设l的方程为y=k（x+1），代入抛物线方程有：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，由此能求出l的方程．
（II）记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4-2k2

k2

，x1x2=1，由此能求出k₁+k₂的值．

解答：解：依题意得：Q（-1，0），
直线l斜率存在，
设其斜率为k，则l的方程为y=k（x+1），
代入抛物线方程有：k²x²+（2k²-4）x+k²=0…（2分）
（I）若k≠0，令△=0得，k=±1，
此时l的方程为y=x+1，y=-x-1．
若k=0，方程有唯一解．
此时l的方程为y=0…（4分）
（II）显然k≠0，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4-2k2

k2

，x1x2=1，…（8分）
k1+k2=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

2k(x1x2-1)

(x1-1)(x2-1)

=0…（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．