【题目】已知x,y满足不等式组 ,求
(1)z=x+2y的最大值;
(2)z=x2+y2﹣10y+25的最小值.
【答案】
(1)解:由约束条件 表示的可行域如下图所示,
由z=x+2y,得y=﹣ ,
平移直线y=﹣ ,由图象可知当直线y=﹣ 经过点A时,直线y=﹣ 的截距最大,此时z最大,
由 得 ,即A(7,9),此时z=7+2×9=25
(2)解:z=x2+y2﹣10y+25=x2+(y﹣5)2,z的几何意义为点P(x,y)到点(0,5)的距离的平方;
由图知,最小值为(0,5)到直线x﹣y+2=0的距离的平方,
即d2=( )2= .经检验,垂足在线段AC上
【解析】(1)作出不等式组对应的平面区域,利用直线平行进行求解即可.(2)z的几何意义是两点间的距离的平方,利用点到直线的距离公式进行求解即可.
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+2x+c的对称轴为x=1,g(x)=x+ (x>0).
(1)求函数g(x)的最小值及取得最小值时x的值;
(2)试确定c的取值范围,使g(x)﹣f(x)=0至少有一个实根;
(3)若F(x)=﹣f(x)+4x+c,存在实数t,对任意x∈[1,m],使F(x+t)≤3x恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】“累积净化量”是空气净化器质量的一个重要衡量指标,它是指空气净化从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量,以克表示,根据《空气净化器》国家标准,对空气净化器的累计净化量有如下等级划分:
累积净化量(克) | 12以上 | |||
等级 |
为了了解一批空气净化器(共5000台)的质量,随机抽取台机器作为样本进行估计,已知这台机器的累积净化量都分布在区间中,按照、、、、均匀分组,其中累积净化量在的所有数据有:4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9,并绘制了频率分布直方图,如图所示:
(1)求的值及频率分布直方图中的值;
(2)以样本估计总体,试估计这批空气净化器(共5000台)中等级为的空气净化器有多少台?
(3)从累积净化量在的样本中随机抽取2台,求恰好有1台等级为的概率.
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【题目】经过原点的直线与椭圆交于两点,点为椭圆上不同于的一点,直线的斜率均存在,且直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设分别为椭圆的左、右焦点,斜率为的直线经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于两点.若点在以为直径的圆内部,求的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,圆的极坐标方程为,已知与交于、两点,点位于第一象限.
(Ⅰ)求点和点的极坐标;
(Ⅱ)设圆的圆心为,点是直线上的动点,且满足,若直线的参数方程为(为参数),则的值为多少?
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【题目】以下结论正确的是( )
A.若a<b且c<d,则ac<bd
B.若ac2>bc2 , 则a>b
C.若a>b,c<d,则a﹣c<b﹣d
D.若0<a<b,集合A={x|x= },B={x|x= },则A?B
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【题目】已知左焦点为F(﹣1,0)的椭圆过点E(1, ).过点P(1,1)分别作斜率为k1 , k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k1;
(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
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