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10.如图1,已知四边形ABFD为直角梯形,$AB∥DF,∠ADF=\frac{π}{2},△ADE$为等边三角形,AD=DF=2AF=2,C为DF的质点,如图2,将平面AED、BCF分别沿AD、BC折起,使得平面AED⊥平面ABCD,平面BCF⊥平面ABCD,连接EF、DF,设G为AE上任意一点.
(1)证明:DG∥平面BCF;
(2)求平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值.

分析 (Ⅰ)推导出CD⊥平面AED,CD⊥平面BCF,从而平面AED∥平面BCF,由此能证明DG∥平面BCF.
(Ⅱ)取AD的中点O,连结OE,则OE⊥AD,以OD为x轴,以平面AED过O的垂线为y轴,以OE为y轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值.

解答 证明:(Ⅰ)由题意知BC⊥DC,
∵平面AED⊥平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,
又CD⊥AD,∴CD⊥平面AED,
同理,CD⊥平面BCF,
∴平面AED∥平面BCF,
又DC?平面AED,∴DG∥平面BCF.
解:(Ⅱ)取AD的中点O,连结OE,则OE⊥AD,
∵平面AED⊥平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,
∴OE⊥平面ABCD,以OD为x轴,以平面AED过O的垂线为y轴,以OE为y轴,建立空间直角坐标系,
∵OE=$\sqrt{3}$,CF=1,
则O(0,0,0),$\overrightarrow{DF}$=(0,1,1),$\overrightarrow{CD}$=(0,-1,0),
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=y+z=0}\end{array}\right.$,取z=1,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$,-1,1),
又$\overrightarrow{CD}$=(0,-1,0)是平面BCF的一个法向量,
∴cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{CD}$>=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

点评 本题考查线面平行的证明,考查线面角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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