Question

20．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如下图所示，其中A，B分别为函数f（x）图象的一个最高点和最低点，且A，B两点的横坐标分别为1，4，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则函数f（x）的一个单调减区间为（　　）

• A． （-6，-3）
• B． （6，9）
• C． （7，10）
• D． （10，13）

Answer 1

分析 求出函数的周期，利用周期公式可求ω，利用向量的坐标运算可求M，利用A（1，2）在函数图象上可求φ，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．

解答 解：由题意可得：周期T=2×（4-1）=6=$\frac{2π}{ω}$，
解得：ω=$\frac{π}{3}$，
可得坐标：A（1，M），B（4，-M），$\overrightarrow{OA}$=（1，M），$\overrightarrow{OB}$=（4，-M），
由于：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，可得：1×4-M²=0，解得：M=2，
可得：2sin（$\frac{π}{3}$×1+φ）=2，解得：$\frac{π}{3}$×1+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由于：0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
可得：φ=$\frac{π}{6}$，解得函数解析式为：f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ+$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：6k+1＜x＜6k+4，k∈Z，
可得：当k=1时，函数f（x）的一个单调减区间为：（7，10）．
故选：C．

点评 本题主要考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质的应用，求出函数的周期，利用向量的坐标运算求M是解决本题的关键，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．