Question

12．已知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t（单位：分钟）的变化规律：θ=m•2^t+2•$\frac{1}{{2}^{t}}$ （t≥0，并且m＞0）．
（1）如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
（2）若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将m=2，θ=5代入θ=m•2^t+2^1-t（t≥0）解指数方程即可求出t的值；
（2）问题等价于m•2^t+2^1-t≥2（t≥0）恒成立，求出m•2^t+2^1-t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．

解答 解：（1）若m=2，则θ=2•2^t+2^1-t=2（2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$），
当θ=5时，2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$=$\frac{5}{2}$，令2^t=x≥1，则x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$，即2x²-5x+2=0，解得x=2或x=$\frac{1}{2}$（舍去），此时t=1．
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
（2）物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立．亦m•2^t+$\frac{2}{2t}$≥2恒成立，
亦即m≥2（$\frac{1}{{2}^{t}}$-$\frac{1}{{2}^{2t}}$）恒成立．
令$\frac{1}{2t}$=x，则0＜x≤1，∴m≥2（x-x²），
由于x-x²≤$\frac{1}{4}$，∴m≥$\frac{1}{2}$．
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查了不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．