Question

11．如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六个顶点都在一个半球面上，且AB=AC，B₁C₁=$\sqrt{2}$BB₁，则异面直线AC₁与A₁B所成的角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 取B₁C₁中点O，以O为原点，以OB₁为x轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC₁与A₁B所成的角．

解答 解：取B₁C₁中点O，连结A₁O，
∵侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六个顶点都在一个半球面上，且AB=AC，B₁C₁=$\sqrt{2}$BB₁，
∴A₁O⊥B₁C₁，OA₁=OB₁，
以O为原点，以OB₁为x轴，OA₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设$B{B}_{1}=\sqrt{2}$，则A（0，$\sqrt{2}$，1），B（1，$\sqrt{2}$，0），A₁（0，0，1），C₁（-1，0，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，-$\sqrt{2}$，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，$\sqrt{2}$，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{{A}_{1}B}$＞=$\frac{-1-2+1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴异面直线AC₁与A₁B所成的角为$\frac{π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．