Question

设等差数列{a_n}的各项均为整数，其公差d≠0，a₅=6，若a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，则n₁的值为

 

．

Answer 1

分析：先由a3，a5，an1成等比数列，求得d与n₁的关系，再由d与n₁都是整数求解．

解答：解：设等差数列的公差为d，则a₃=a₅-2d=6-2d，a_n1=a₅+（n₁-5）d=6+（n₁-5）d．
∵a3，a5，an1成等比数列，
∴a₅²=a₃a_n1
化简即（6n₁-42）d-2（n₁-5）d²=0
∵d≠0所以有 3n₁-21=（n₁-5）d   （1）
显然d=3不能使等式成立
∴由（1）式可以解出：n₁=（21-5d）/（3-d）
因为n₁＞5，n₁为整数，因此n₁≥6，即（21-5d）/（3-d）≥6   （2）
在（2）中，若d＞3，则 21-5d≤6（3-d）=18-6d，由此得到d≤-3，与d＞3矛盾．
因此只能有d＜3，
当d=2时n₁=11，满足条件．
故答案是11．

点评：本题主要考查等差、等比数列的综合运用以及数域的应用．