Question

17．设a＞b＞c，方程$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$+$\frac{1}{x-c}$=0的两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），试确定a，b，c，x₁，x₂的大小关系．

Answer 1

分析 由已知中$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$+$\frac{1}{x-c}$=0的两根为x₁，x₂，故$\frac{1}{{x}_{1}-a}+\frac{1}{{x}_{1}-b}+\frac{1}{{x}_{1}-c}=0$，且$\frac{1}{{x}_{2}-a}+\frac{1}{{x}_{2}-b}+\frac{1}{{x}_{2}-c}=0$，进而得到结论．

解答 解：∵$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$+$\frac{1}{x-c}$=0的两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴$\frac{1}{{x}_{1}-a}+\frac{1}{{x}_{1}-b}+\frac{1}{{x}_{1}-c}=0$，且$\frac{1}{{x}_{2}-a}+\frac{1}{{x}_{2}-b}+\frac{1}{{x}_{2}-c}=0$，
故$\frac{1}{{x}_{1}-a}，\frac{1}{{x}_{1}-b}，\frac{1}{{x}_{1}-c}$至少有一个小于0，又至少一个大于0，
$\frac{1}{{x}_{2}-a}，\frac{1}{{x}_{2}-b}，\frac{1}{{x}_{2}-c}$至少有一个小于0，又至少一个大于0，
又由a＞b＞c，x₁＜x₂，得：a＞x₂＞b＞x₁＞c．

点评 本题考查的知识点为不等式的性质，实数的性质，难度中档．