Question

5．a为实数，求函数f（x）=sinxcosx+a（sinx-cosx），x∈[$\frac{π}{2}$，π]的最大值．

Answer 1

分析 令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）$，由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，可得$（x-\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，可得t∈$[1，\sqrt{2}]$．平方可得：sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，f（x）=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$+at=$-\frac{1}{2}（t-a）^{2}$+$\frac{{a}^{2}+1}{2}$=g（t），t∈$[1，\sqrt{2}]$．对a分类讨论，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）$，∵x∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴$（x-\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，
∴$sin（x-\frac{π}{4}）$∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，∴t∈$[1，\sqrt{2}]$．
可得：t²=1-2sinxcosx，∴sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$+at=$-\frac{1}{2}（t-a）^{2}$+$\frac{{a}^{2}+1}{2}$=g（t），t∈$[1，\sqrt{2}]$．
当a≤1时，g（t）_max=g（1）=a；
当a$≥\sqrt{2}$时，g（t）_max=g（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}a$$-\frac{1}{2}$；
当1＜a$＜\sqrt{2}$时，g（t）_max=g（a）=$\frac{{a}^{2}+1}{2}$．
∴f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤1}\\{\frac{{a}^{2}+1}{2}，1＜a＜\sqrt{2}}\\{\sqrt{2}a-\frac{1}{2}，a≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、“换元法”、三角函数的单调性与值域、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．