已知,点B是轴上的动点,过B作AB的垂线交轴于点Q,若
,.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)是否存在定直线,以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值,若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。
(1) y2=x,此即点P的轨迹方程;
(2)存在定直线x=,以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。
解析试题分析:(1)设B(0,t),设Q(m,0),t2=|m|, m0,m=-4t2,
Q(-4t2,0),设P(x,y),则=(x-,y),
=(-4t2-,0),2=(-,2 t), +=2。
(x-,y)+ (-4t2-,0)= (-,2 t),
x=4t2,y="2" t, y2=x,此即点P的轨迹方程; 6分。
(2)由(1),点P的轨迹方程是y2=x;设P(y2,y),M (4,0) ,则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(,), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:
L=2
=2=2 10分
若a为常数,则对于任意实数y,L为定值的条件是a-="0," 即a=时,L=
存在定直线x=,以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。13分
考点:本题主要考查抛物线方程,轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,平面向量的坐标运算。
点评:中档题,首先利用几何条件,确定向量的坐标,并运用向量的坐标运算,确定得到抛物线方程。在直线与圆的去位置关系研究中,充分利用了圆的“特征三角形”,确定弦长。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知直线的方向向量为,且过点,将直线绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角得到直线,直线:.(kR).
(1)求直线和直线的方程;
(2)当直线,,所围成的三角形的面积为3时,求直线的方程。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知空间向量,,·=,∈(0,).
(1)求及,的值;
(2)设函数,求的最小正周期和图象的对称中心坐标;
(3)求函数在区间 上的值域.
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