Question

已知函数f（x）=x³-3x²-9x．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-2，2]上的最值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（x）=x³-3x²-9x．
得f′（x）=3x²-6x-9，
令f′（x）=3x²-6x-9＞0，
解得x＜-1或x＞3，（4分）
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（3，+∞）．
（Ⅱ） 当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2
f’（x）		+	0	-
f （x）	-2	↑	极大值5	↓	-22

（8分）
从而可知，当x=-1时，函数f（x）取得最大值，即f（-1）=（-1）³-3（-1）²-9（-1）=5，
当x=2时，函数f（x）取得最小值即f（2）=2³-3×2²-9×2=-22．（10分）
分析：（Ⅰ）由令f′（x）=3x²-6x-9＞0，解得x＜-1或x＞3，由此能够得到函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ） 当x变化时，列表讨论f’（x）与f（x）的变化情况．从而可知，当x=-1时，函数f（x）取得最大值5，当x=2时，函数f（x）取得最小值-22．
点评：本题考查求函数f（x）的单调递增区间和求f（x）在区间[-2，2]上的最值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．