Question

已知数列{a_n}满足S_n+S_n-1=ta_n²（t＞0，n≥2），且a₁=0，n≥2时，a_n＞0．其中S_n是数列a_n的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（III）若对于n≥2，n∈N*，不等式

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

＜2恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）充分利用相邻两项之间的关系，利用作差法即可获得数列特点．结合等差数列的特点根据分类讨论即可获得问题的解答；
（2）根据第（1）问题结论利用裂项的方法即可求的不等式左边当n≥2时的前n项和，进而问题转化为t²（1-

1

n

）＜2对于n≥2，n∈N^*恒成立，再结合放缩法即可获得问题的解答．

解答：解：（I）依题意，

Sn+Sn-1=t a 2 n ；(n≥2)(1) Sn-1+Sn-2=t a 2 n-1 ．(2)

，
（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²）（n≥3）．
由已知a_n+a_n-1≠0，故a_n-a_n-1=

1

t

（n≥3），
由a₁=0，S₂+S₁=ta₂²，得a₂=ta₂²，
∴a₂=0（舍）或a₂=

1

t

，
即数列{a_n}从第二项开始是首项为

1

t

，公差为

1

t

的等差数列．
所以an=a2+(n-2)d=

1

t

+(n-2)?

1

t

=

n-1

t

，（n≥2），又当n=1时，a₁=

1-1

t

=0，
所以a_n=

n-1

t

（n∈N^﹡）．
（II）设T_n=

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=

t2

1×2

+

t2

2×3

+

t2

3×4

+…+

t2

(n-1)×n

=t²（1-

1

n

）
要使T_n＜2，对于n≥2，n∈N^*恒成立，只要T_n=t²（1-

1

n

）＜t²≤2成立，所以0＜t≤

2

．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了通项与前n项和的关系、等差数列的知识、分类讨论的思想以及恒成立的思想和问题转化的能力．值得同学们体会反思．