Question

如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=

π

2

，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN
（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？

Answer 1

考点：扇形面积公式

专题：三角函数的求值

分析：（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；
（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜

π

2

），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．

解答： 解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
∴∠AOB=

π

6

，
∴AB=2Rsin

π

12

，OH=Rcos

π

12

，
OE=DE=

1

2

AB=Rsin

π

12

，
∴EH=OH-OE=R（cos

π

12

-sin

π

12

），
S=AB•EH=R²（2sin

π

12

cos

π

12

-sin²

π

12

）=

3 -1

2

R2，

（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜

π

2

），
则AB=2Rsin

θ

2

，OH=Rcos

θ

2

，oe=

1

2

AB=Rcos

θ

2

，OE=

1

2

AB=Rsin

θ

2

，
∴EH=OH-OE=R（cos

θ

2

-sin

θ

2

），
S=AB•EH=R²（2sin

θ

2

cos

θ

2

-sin²

θ

2

）=R²（sinθ+cosθ-1）=R²[

2

sin（θ+

π

4

）-1]，
∵0＜θ＜

π

2

，
∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，
∴θ+

π

4

=

π

2

即θ=

π

4

时，
S_max=（

2

-1）R²，此时A在弧MN的四等分点处．
答：当A在弧MN的四等分点处时，S_max=（

2

-1）R²．

点评：本题考查扇形的面积公式，考查三角函数的性质，比较基础．