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    定义域为R的函数y=f（x）满足：
    ①f(x+
    π
    2
    )=-f(x)    ；
    ②函数在[
    π
    12
    ，
    7π
    12
    ]    的值域为[m，2]，并且?x1，x2∈[
    π
    12
    ，
    7π
    12
    ]    ，当x1＜x2时恒有f（x1）＜f（x2）．
    （1）求m的值；
    （2）若f(
    π
    3
    +x)=-f(
    π
    3
    -x)    ，并且f(
    π
    4
    sinx+
    π
    3
    )＞0    求满足条件的x的集合；
    （3）设y=g（x）=2cos2x+sinx+m+2，若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应，求集合M．
    分析：（1）先求出函数的周期性，然后求出函数的单调性，结合条件f(x+
    π
    2
    )=-f(x)    可求出m；
    （2）根据条件可知函数f（x）的图象关于点（
    π
    3
    ，0）对称，然后根据f(
    π
    4
    sinx+
    π
    3
    )＞0    和
    π
    4
    sinx    +
    π
    3
    的自身的范围即可求出满足条件的x的集合；
    （3）若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t2+t+2-y=0在（0，1）上只有一解，只需h（1）•h（0）＜0即可求出集合M．
    解答：解：（1）∵f(x+
    π
    2
    )=-f(x)    ；∴f（x+π）=f（x），f（x）是以T=π的周期函数
    而函数在[
    π
    12
    ，
    7π
    12
    ]    的值域为[m，2]，并且?x1，x2∈[
    π
    12
    ，
    7π
    12
    ]    ，当x1＜x2时恒有f（x1）＜f（x2）．
    ∴函数f（x）在[
    π
    12
    ，
    7π
    12
    ]    上单调递增，而f(x+
    π
    2
    )=-f(x)    ，∴m=-2
    （2）∵f(
    π
    3
    +x)=-f(
    π
    3
    -x)    ，∴f（x）的图象关于点（
    π
    3
    ，0）对称
    ∵f(
    π
    4
    sinx+
    π
    3
    )＞0
    ∴
    π
    3
    +kπ    ＜
    π
    4
    sinx    +
    π
    3
    ＜
    5π
    6
    +kπ，而
    π
    12
    ≤
    π
    4
    sinx    +
    π
    3
    ≤
    7π
    12

    则
    π
    3
    ＜
    π
    4
    sinx    +
    π
    3
    ≤
    7π
    12

    ∴0＜sinx≤1即满足条件的x的集合为{x|2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z}
    （3）∵y=g（x）=2cos2x+sinx
    ∴y=g（x）=-2sin2x+sinx+2
    令sinx=t∈（0，1）则y=-2t2+t+2
    若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t2+t+2-y=0在（0，1）上只有一解
    ∴h（1）•h（0）=（1-y）（2-y）＜0
    解得1＜y＜2
    ∴集合M={y|1＜y＜2}．
    点评：本题主要考查了抽象函数及其应用和三角不等式的解法，同时考查了转化的思想，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（3）=3，则f（2009）=（　　）
    A、3
    B、
    1
    3
    C、2009
    D、
    1
    2009

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    12、已知定义域为R的函数y=f（x），则下列命题：
    ①若f（x-1）=f（1-x）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1的对称；
    ②若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，则函数y=f（x）的图象关于（1，0）点对称；
    ③函数y=f（x-1）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称；
    ④函数y=-f（x-1）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于原点对称；
    ⑤若f（1+x）+f（x-1）=0恒成立，则函数y=f（x）以4为周期．
    其中真命题的有（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对定义域是Df．Dg的函数y=f（x）．y=g（x），
    规定：函数h（x）=
    f(x)g(x)，当x∈Df且x∈Dg
    f(x)，当x∈Df且x∉Dg
    g(x)，当x∉Df且x∈Dg
    ．
    （1）若函数f（x）=
    1
    x-1
    ，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；
    （2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
    （3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义域为R的函数y=f（x）对于任意x都有f(x+2)=
    		2
    f(x)，当x∈[0，2]    时f(x)=sin(
    π
    2
    x)，则方程f(x)-
    		x
    =0，x∈[0，8]    的根的个数为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义域为R的函数y=f（x）的值域为[1，2]，则函数y=f（x+2）的值域为
    [1，2]
    [1，2]
    ．

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