Question

7．已知cosθ=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）求sinθ的值；
（Ⅱ）求cos2θ的值；
（Ⅲ）若sin（θ-φ）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，求cosφ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinθ的值．
（Ⅱ）由条件利用二倍角的余弦公式，求得cos2θ的值．
（Ⅲ）由条件求得cos（θ-φ）的值，再根据cosϕ=cos[θ-（θ-ϕ）]=cosθcos（θ-ϕ）+sinθsin（θ-ϕ），计算求的结果．

解答 解：（Ⅰ）由cosθ=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），可得$sinθ=\sqrt{1-{{cos}^2}θ}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（Ⅱ）$cos2θ=2{cos^2}θ-1=2×\frac{1}{5}-1=-\frac{3}{5}$．
（Ⅲ）∵$0＜θ＜\frac{π}{2}$，$0＜ϕ＜\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{2}＜θ-ϕ＜\frac{π}{2}$，结合 $sin（{θ-ϕ}）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴$cos（{θ-ϕ}）=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，
∴cosϕ=cos[θ-（θ-ϕ）]=cosθcos（θ-ϕ）+sinθsin（θ-ϕ）=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{10}}}{10}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，两角和差的余弦公式，属于基础题．