Question

定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的奇函数, 且当x∈(0, 1)时, f (x)＝.
（1）求f (x)在[－1, 1]上的解析式;  
（2）证明f (x)在(—1, 0)上时减函数;
（3）当λ取何值时, 不等式f (x)＞λ在R上有解?

Answer 1

（1） f(x)=. （2）用定义或导数法均可证明；（3）λ＜ 

试题分析：（1）当x∈(-1, 0)时, - x∈(0, 1).∴由题意可得f(-x)=.
又f(x)是奇函数,∴f(x)=" -" f (-x) =-.    2分
∵f(-0)= -f(0),  ∴f(0)=" 0."    3分
又f(x)是最小正周期为2的函数,∴对任意的x有f(x+2)= f(x).
∴f(-1)=" f(-1+2)=" f(1). 另一面f(-1)="-" f (1), ∴- f(1)=" f(1)" . ∴f(1) = f(-1)=0.  5分
∴f(x)在[-1, 1]上的解析式为 f(x)=.    6分
（2）f (x)在(—1, 0)上时的解析式为，∵，∴，又-1<x<0，∴，∴，∴，∴f (x)在(—1, 0)上时减函数   10分
（3）不等式f(x)＞λ在R上有解的λ的取值范围就是λ小于f(x)在R上的最大值.…12分
由（2）结论可得，当x∈(-1, 0)时，有-< f(x)= -< -；
又f(x)是奇函数,当x∈(0, 1)时，有< f(x)＝<；
∴f(x)在[-1, 1]上的值域是(-, -)∪｛0｝∪(, ).  14分
由f(x)的周期是2；故f(x)在R上的值域是(-, -)∪｛0｝∪(, )  15分
∴λ＜时，不等式f(x)＞λ在R上有解.    16分
点评：利用奇偶性求函数解析式问题要注意：（1）在哪个区间求解析式，就设在哪个区间里；（2）转化为已知的解析式进行代入；（3）利用的奇偶性把写成或，从而求出．