Question

设等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都为整数，前n项和为S_n．
（Ⅰ）若a₁₁=0，S₁₄=98，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₁≥6，a₁₁＞0，S₁₄≤77，求所有可能的数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本题是关于等差数列的基本量的运算，设出题目中的首项和公差，根据第十一项和前十四项的和两个数据列出方程组，解出首项和公差的值，写出数列的通项．
（Ⅱ）根据三个不等关系，写出关于首项和公差的不等式组，解不等式组，得到一个范围，根据{a_n}的首项a₁及公差d都为整数得到所有可能的结果，写出通项公式．

解答：解：（Ⅰ）由S₁₄=98得2a₁+13d=14，
又a₁₁=a₁+10d=0，
∴解得d=-2，a₁=20．
∴{a_n}的通项公式是a_n=22-2n，
（Ⅱ）由

S14≤77 a11?0 a1≥6

得

2a1+13d≤11 a1+10d?0 a1≥6

即

2a1+13d≤11 -2a1-20d?0 -2a1≤-12

由①+②得-7d＜11．
即d＞-

11

7

．
由①+③得13d≤-1
即d≤-

1

13

于是-

11

7

＜d≤-

1

13

又d∈Z，故
d=-1  ④
将④代入①②得10＜a₁≤12．
又a₁∈Z，故a₁=11或a₁=12．
∴所有可能的数列{a_n}的通项公式是
a_n=12-n和a_n=13-n，

点评：本题考查数列的基本量，是一个综合问题，题目中结合不等式和方程的解法，根据题目所给的关系，写出关于数列的首项和公差的方程组，解方程组得到公差和首相，再写出通项公式．