Question

【题目】已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的一个顶点为B（0，1），B到焦点的距离为2．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P，Q是椭圆上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ，线段PQ的中垂线l与x轴的交点为（x0 ， 0），求x0的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的一个顶点为B（0，1），B到焦点的距离为2．

∴由条件：b=1，a=2，

∴椭圆的标准方程为： =1

（2）解：①当直线PQ斜率k=0时，线段PQ的中垂线l在x轴上的截距为0；

②设PQ：y=kx+m，（k≠0），

则： ﹣4=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则 ，

∵BP⊥BQ，∴ ，

∴（1+k2）x1x2+k（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2=0（1+k2） =0

∴5m2﹣2m﹣3=0m=﹣ 或m=1（舍去），

∴PQ为：y=kx﹣ ，

∴xM= ，yM= ，

∴线段PQ的中垂线l为：y+ ，

∴在x轴上截距x0= ，

∴|x0|= ，

∴﹣ 且x0≠0，

综合①②得：线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围是

【解析】（1）由条件b=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程．（2）当直线PQ斜率k=0时，线段PQ的中垂线l在x轴上的截距为0；当k≠0时，设PQ：y=kx+m，取椭圆联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韦达定理、向量垂直、中垂线性质，结合已知条件能求出线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围．