Question

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

(1)求证：BD⊥平面POA；
(2)记三棱锥P－ABD的体积为V₁，四棱锥P－BDEF的体积为V₂，求当PB取得最小值时V₁∶V₂的值．

Answer 1

（1）见解析（2）4∶3

(1)证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO.
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO?平面PEF，∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD.
∵AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA.
(2)连接OB，设AO∩BD＝H.由(1)知，AC⊥BD.
∵∠DAB＝60°，BC＝4，∴BH＝2，CH＝2.
设OH＝x(0＜x＜2)．
由(1)知，PO⊥平面ABFED，∴PO⊥OB，即△POB为直角三角形．
∴PB²＝OB²＋PO²＝(BH²＋OH²)＋PO²，
∴PB²＝4＋x²＋(2－x)²＝2x²－4 x＋16＝2(x－)²＋10.
当x＝时，PB取得最小值，此时O为CH的中点．
∴S_△CEF＝ S_△BCD，
∴S_梯形BFED＝S_△BCD＝S_△ABD，
∴V₁＝ S_△ABD·PO，V₂＝ S_梯形BFED·PO.
∴＝.
∴当PB取得最小值时，V₁∶V₂的值为4∶3.