Question

椭圆c：（a>b>0）的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，直线PA与椭圆的另一个交点为M，直线PB与椭圆的另一个交点为N，求证：直线MN经过一定点.

 

Answer 1

（1）；（2）证明详见解析

【解析】

试题分析：（1）由已知可得，＝１，解出a，b即可.

（2）设Ｐ（１，ｔ）,则直线，联立直线PA方程和椭圆方程可得，同理得到，由椭圆的对称性可知这样的定点在轴，不妨设这个定点为Ｑ，由，求得m的存在即可.

试题解析：（1）依题意

过焦点Ｆ与长轴垂直的直线ｘ＝ｃ与椭圆

联立解答弦长为＝１， 2分

所以椭圆的方程. 4分

（2）设Ｐ（１，ｔ）

，直线，联立得：

即，

可知所以，

则 6分

同理得到 8分

由椭圆的对称性可知这样的定点在轴，

不妨设这个定点为Ｑ， 10分

又， ，

，，. 12分

考点：1.椭圆方程的性质；2.点共线的证法.