Question

已知抛物线y²=4x，椭圆经过点M(0，

3

)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上的点，设T的坐标为（t，0）（t是已知正实数），求P与T之间的最短距离．

Answer 1

分析：（1）先求出抛物线的焦点坐标，进而设出椭圆方程，再根据焦点坐标求出b，a，即可求椭圆的方程；
（2）先利用设P（x，y），则|PT|═

(x-4t)2+12-12t2 4

（-2≤x≤2），再对t的取值进行讨论：①当0＜t≤

1

2

时，②当t＞

1

2

时，x=2，求得P与T之间的最短距离即可．

解答：解：（1）抛物线的焦点为（1，0）…（2分）
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则a2-b2=1，b=

3

…（4分）
∴a²=4，b²=3
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）设P（x，y），则|PT|=

(x-t)2+y2

=

(x-t)2+3(1- x2 4 )

=

(x-4t)2+12-12t2 4

（-2≤x≤2）…（8分）
①当0＜t≤

1

2

时，x=4t，即P(4t，±

3-3t2

)时，|PT|min=

3-3t2

；
②当t＞

1

2

时，x=2，即P（2，0）9时，|PT|_min=|t-2|10；
综上，|PT|min=

3-3t2 ，0＜t≤ 1 2 |t-2|，t＞ 1 2

…（14分）
（注：也可设P(2cosθ，

3

sinθ)(0＜θ≤2π)解答，参照以上解答相应评分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．第一问涉及到了求抛物线的焦点坐标，在求抛物线的焦点坐标时，一定注意先把抛物线方程转化为标准形式，再求解，避免出错．