Question

已知在直角坐标系中，An(an，0)，Bn(0，bn)(n∈N*)，其中数列{a_n}，{b_n}都是递增数列．
（1）若a_n=2n+1，b_n=3n+1，判断直线A₁B₁与A₂B₂是否平行；
（2）若数列{a_n}，{b_n}都是正项等差数列，设四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为S_n（n∈N^*），求证：{S_n}也是等差数列；
（3）若an=2n，bn=an+b(a，b∈Z)，b1≥-12，记直线A_nB_n的斜率为k_n，数列{k_n}的前8项依次递减，求满足条件的数列{b_n}的个数．

Answer 1

分析：（1）确定A₁（3，0），B₁（0，4），A₂（5，0），B₂（0，7），求得斜率，可得A₁B₁与A₂B₂不平行；
（2）因为{a_n}，{b_n}为等差数列，设它们的公差分别为d₁和d₂，则a_n=a₁+（n-1）d₁，b_n=b₁+（n-1）d₂，a_n+1=a₁+nd₁，b_n+1=b₁+nd₂，从而可得Sn=S△OAn+1Bn+1-S△OAnBn=

1

2

(an+1bn+1-anbn)，进而可证明数列{S_n}是等差数列；
（3）求得kn=

bn-0

0-an

=-

bn

an

=-

an+b

2n

，根据数列{k_n}前8项依次递减，可得an-a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立，根据数列{b_n}是递增数列，故只要n=7时，7a-a+b=6a+b＜0即可，关键b₁=a+b≥-12，联立不等式

6a+b＜0 a+b≥-12 a＞0 a，b∈Z

作出可行域，即可得到结论．

解答：（1）解：由题意A₁（3，0），B₁（0，4），A₂（5，0），B₂（0，7），
所以kA1B1=

4-0

0-3

=-

4

3

，
kA2B2=

7-0

0-5

=-

7

5

，
因为kA1B1≠kA2B2，所以A₁B₁与A₂B₂不平行．
（2）证明：因为{a_n}，{b_n}为等差数列，设它们的公差分别为d₁和d₂，
则a_n=a₁+（n-1）d₁，b_n=b₁+（n-1）d₂，a_n+1=a₁+nd₁，b_n+1=b₁+nd₂
由题意Sn=S△OAn+1Bn+1-S△OAnBn=

1

2

(an+1bn+1-anbn)
所以Sn=

1

2

{(a1+nd1)(b1+nd2)-[a1+(n-1)d1][b₁+（n-1）d₂]}
=

1

2

(2d1d2n+a1d2+b1d1-d1d2)，
所以Sn+1=

1

2

(2d1d2n+a1d2+b1d1+d1d2)，
所以S_n+1-S_n=d₁d₂是与n无关的常数，
所以数列{S_n}是等差数列
（3）解：因为A_n（a_n，0），B_n（0，b_n），
所以kn=

bn-0

0-an

=-

bn

an

=-

an+b

2n

又数列{k_n}前8项依次递减，
所以kn+1-kn=-

a(n+1)+b

2n+1

+

an+b

2n

=

an-a+b

2n+1

＜0，
对1≤n≤7（n∈Z）成立，
即an-a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立．
又数列{b_n}是递增数列，所以a＞0，故只要n=7时，7a-a+b=6a+b＜0即可．
又b₁=a+b≥-12，联立不等式

6a+b＜0 a+b≥-12 a＞0 a，b∈Z

作出可行域（如右图所示），易得a=1或2，
当a=1时，-13≤b＜-6即b=-13，-12，-11，-10，-9，-8，-7，有7个解；
当a=2时，-14≤b＜-12，即b=-14，-13，有2个解，所以数列{b_n}共有9个．

点评：本题考查数列与解析几何的综合，考查等差数列的定义，考查线性规划知识，综合性强．